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复数

参考资料​

历史​

tip

这一大段全是废话，可以简单了解一下。

在古希腊时期，毕达哥拉斯学派 坚信“万物皆数”，认为一切量都可以用整数比表示。然而，当他们在研究边长为 11 的正方形对角线时，却发现斜边长为 2\sqrt{2}，它无法写成两个整数的比值，这就是“无理数”的出现。无理数的发现不仅动摇了“万物皆数”的信念，也标志着数学世界正在走向更广阔的领域。

有理数→无理数\text{有理数}\to\text{无理数} 有理数+无理数=实数\text{有理数}+\text{无理数}=\text{实数}

类似的故事在代数学中再一次上演。当人们研究二次方程 x2+1=0x^2+1=0 时，发现它在实数范围内无解，从而引出了虚数单位 i=−1i=\sqrt{-1} 的概念。虽然起初这种“负数开方”显得荒诞，但在更复杂的三次方程（ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0）中，它却成为必不可少的工具。

16 世纪的意大利数学家 卡尔达诺 在著作《大术》中给出了三次方程的一般解法。即便最终解是实数，中间步骤也必须经过 −1\sqrt{-1} 的计算，从而引发了第三次数学危机（虚数危机）：要得到实数，必须先承认并使用虚数。这使得虚数和复数不再只是数学边缘的奇思，而逐渐成为代数理论中不可或缺的一部分。

实数→虚数\text{实数}\to\text{虚数} 实数+虚数=复数\text{实数}+\text{虚数}=\text{复数}

从无理数的诞生到复数的出现，数学一次次突破原有的边界，也为后续的函数论、解析几何和现代物理奠定了坚实的基础。

引入​

在初中阶段，只有非负数才有平方根；负数的平方根被视为“无意义”，因为无法用实数表示结果。

进入高中后，我们开始研究负数的平方根，并定义 i=−1i=\sqrt{-1}，因此 i2=−1i^2=-1，称 ii 为 虚数单位。

tip

虚数单位 ii 源于单词 "imaginary"（想象的，假想的）。

通过根号的性质和虚数单位 ii，我们可以表示任何负数的平方根。

Example
−49=49⋅−1=7i\sqrt{-49}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{-1}=7i

代数意义​

定义​

我们将由实数单位 11 和虚数单位 ii 组成的数称为 复数，通常用 zz 等小写字母表示。所有复数可以表示为：

z=a+bi(a,b∈R)z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})

其中 aa 称为 zz 的 实部，记作 Re⁡z\operatorname{Re}z；bb 称为 虚部，记作 Im⁡z\operatorname{Im}z；ii 称为 虚数单位，满足 i2=−1i^2=-1。

特别地，当 b=0b=0 时，z=az=a 为 实数；但 b≠0b\ne 0 时，zz 为 虚数；当 a=0a=0 且 b≠0b\ne 0 时，z=biz=bi 为 纯虚数。

两个复数 相等 当且仅当实部相等且虚部相等：

a+bi=c+di  ⟺  a=c且b=da+bi=c+di\iff a=c\text{且}b=d

本文默认 z=a+biz=a+bi，则 Re⁡(z)=a,Im⁡(z)=b\operatorname{Re}(z)=a,\operatorname{Im}(z)=b。

复数集​

数集在前面的 集合 章节中提到过，我们在实数集 R\mathbb{R} 的基础上扩展出 复数集 C\mathbb{C}。

C={ a+bi∣a,b∈R }\mathbb{C}=\set{a+bi|a,b\in\mathbb{R}} N⊆Z⊆Q⊆R⊆C\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

tip

这个扩展是允许且合理的，因为复数体系是自洽的，即内部无矛盾。

几何意义​

复平面​

每个复数 z=a+biz=a+bi 都可以对应一个点 Z(a,b)Z(a,b)，我们考虑把复数放到直角坐标系中。

而这个建立了直角坐标系来表示复数的平面称作 复平面，横轴（xx 轴）叫做 实轴，纵轴（yy 轴）叫做 虚轴。

模长​

我们将 向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 的 模长 定义为复数 z=a+biz=a+bi 的 模长，记为：

∣OZ∣=∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2|OZ|=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

两个复数不能直接比较大小，但可以比较它们的模长，即到原点 OO 的距离。

其实实数 aa 的 模长 ∣a∣|a| 就是它的 绝对值。

∣a∣=∣a+0i∣=a2|a|=|a+0i|=\sqrt{a^2}

辐角​

我们将向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 与 实轴正方向 的夹角定义为 辐角，记作 arg⁡z\operatorname{arg}z，取值范围通常为 [0,2π)[0,2\pi)。

这类似于任意角 三角函数 的定义。

共轭​

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时（关于实轴对称），这两个复数叫做互为 共轭复数，记作 z‾\overline{z}：

z=a+bi  ⟺  z‾=a−biz=a+bi\iff\overline{z}=a-bi
tip

轭（è）指套在牛脖子上、把两头牛拴在一起拉车的器具。

共轭就是“共用一副轭”，形容两头牛并驾齐驱，一起受约束。

引申到数学里，“共轭”就表示“成对出现、互相对应、紧密联系”的关系。

运算​

在运算中，可以先将虚数单位 ii 视为普通变量（类似 xx 或 yy 等），并按照常规的代数运算规则进行计算；当遇到 i2i^2 时，再将其视为 −1-1。

我们设两个复数 z1=a+biz_1=a+bi 和 z2=c+diz_2=c+di。

加法​

在代数上，直接相加即可：

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iz_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

在几何上，复数在复平面中可以被视为 点 或 向量，因此复数运算的几何性质与向量相似，都遵循 平行四边形法则。

减法​

在代数上，直接相减即可：

z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)iz_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

在几何上，与加法类似，转化为相反复数后使用 平行四边形法则。

乘法​

在代数上，直接相乘即可：

z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)iz_1z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i

在几何上，复数乘法遵循 模长相乘、辐角相加。

r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)⋅r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]r_1(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})\cdot r_2(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_1r_2[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})]

除法​

在代数上，除法直接计算得到：

z1z2=a+bic+di(z2≠0)\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}(z_2\ne 0)

通过 分母实数化 可以进一步化简为：

(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(a+bi)(c−di)c2+d2=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

在几何上，复数除法遵循 模长相除、辐角相减。

r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]\frac{r_1(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})}{r_2(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})]
tip

分母含有复数时，乘以分母的共轭 z‾\overline{z} 即可实数化：

zz‾=∣z∣2z\overline{z}=|z|^2

幂运算​

复数的幂运算和实数同理。

Example
z1=1+3i,z2=2−5iz_1=1+3i,z_2=2-5iz1+z2=(1+3i)+(2−5i)=(1+2)+(3−5)i=3−2iz_1+z_2=(1+3i)+(2-5i)=(1+2)+(3-5)i=3-2iz1−z2=(1+3i)−(2−5i)=(1−2)+(3+5)i=−1+8iz_1-z_2=(1+3i)-(2-5i)=(1-2)+(3+5)i=-1+8iz1z2=(1+3i)(2−5i)=2−5i+6i−15i2=17+iz_1z_2=(1+3i)(2-5i)=2-5i+6i-15i^2=17+iz1z2=1+3i2−5i=(1+3i)(2+5i)(2−5i)(2+5i)=−1329+1129i\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+3i}{2-5i}=\frac{(1+3i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)}=-\frac{13}{29}+\frac{11}{29}iz13=(1+3i)3=(−8+6i)(1+3i)=−26−18i{z_1}^3=(1+3i)^3=(-8+6i)(1+3i)=-26-18iz2−1=1z2=12−5i=2+5i(2−5i)(2+5i)=229+529i{z_2}^{-1}=\frac{1}{z_2}=\frac{1}{2-5i}=\frac{2+5i}{(2-5i)(2+5i)}=\frac{2}{29}+\frac{5}{29}i

三角表示​

直角坐标系​

在初中阶段，我们学习了 直角坐标系（笛卡儿坐标系），这是最常用的坐标系。

通过 xx 和 yy 坐标，可以表示平面上的每个点 AA。

A(x,y)A(x,y)

极坐标系​

我们还可以用 极径 rr 和 极角 θ\theta 描述这个点 AA，这就是 极坐标系。

A(r,θ)A(r,\theta)

变换​

假设点 AA 的直角坐标为 A(x,y)A(x,y)，极坐标为 A(r,θ)A(r,\theta)，考虑如何进行坐标转换。

从 极坐标系 转换到 直角坐标系 可以使用 三角函数：

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,y=r\sin\theta

单位圆上辐角为 θ\theta 的点 BB 的坐标为 B(cos⁡θ,sin⁡θ)B(\cos\theta,\sin\theta)，将其缩放 rr 倍就得到了 A(rcos⁡θ,rsin⁡θ)A(r\cos\theta,r\sin\theta)。

从 直角坐标系 转换到 极坐标系 时，极径 rr 比较容易计算，根据 距离公式：

r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}

但 极角 θ\theta 的计算相对比较复杂。

我们知道，极角的 正切值 tan⁡θ\tan\theta 等于 纵坐标 yy 除以 横坐标 xx。

tan⁡θ=yx\tan\theta=\frac{y}{x}

因此极角可以通过 反三角函数 来确定。

warning
θ=arctan⁡yx\xcancel{\theta=\arctan{\frac{y}{x}}}

但直接使用反三角函数会遇到很多问题，例如定义域与值域限制。

为了解决这些问题，数学家通常引入一个改进的分段函数 atan2⁡\operatorname{atan2}：

θ=atan2⁡(y,x)={arctan⁡(yx)x>0arctan⁡(yx)+πx<0,y≥0arctan⁡(yx)−πx<0,y<0+π2x=0,y>0−π2x=0,y<0undefinex=0,y=0\theta=\operatorname{atan2}(y,x)= \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & x<0,y\geq 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & x<0,y<0 \\ +\frac{\pi}{2} & x=0,y>0 \\ -\frac{\pi}{2} & x=0,y<0 \\ \text{undefine} & x=0,y=0 \end{cases}

这个并不重要，简单了解一下即可。

复数​

回到复数，我们知道每个复数 z=a+biz=a+bi 都可以对应直角坐标系中的点 Z(a,b)Z(a,b)。

而复数还可以用 模长 和 辐角 表示，正好对应了极坐标系的 极径 和 极角。

因此，点 Z(a,b)Z(a,b) 的坐标也可以写作：

Z(rcos⁡θ,rsin⁡θ)Z(r\cos\theta,r\sin\theta) a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θa=r\cos\theta,b=r\sin\theta

在复平面中，这个点对应的复数为：

z=a+bi=rcos⁡θ+irsin⁡θ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=a+bi=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)

其中 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) 称为复数 zz 的 三角表示式（三角形式），而 a+bia+bi 称为 代数表示式（代数形式）。

拓展​

欧拉公式​

进一步地，数学家 莱昂哈德·欧拉 发现：

cos⁡θ+isin⁡θ=eiθ\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}

因此，复数的极坐标形式可以进一步简化为：

z=reiθz=re^{i\theta}

这就是著名的 欧拉公式。