三角函数

参考资料

• 三角函数 - 维基百科
• 《关于我不背三角公式，高考数学144这件事》 一个式子推出所有三角公式 - bilibili

基础知识

任意角

一条射线绕端点 逆时针 旋转形成的角称为 正角，顺时针 旋转形成的角称为 负角。

由于旋转方向和圈数都不受限制，任意角的大小可以是 任意实数。

弧度制

小学和初中常用的角度单位是 角度制，将一个周角平均分为 $360$ 份，其中每一份定义为 $1^\circ$。

但在更高层次的数学中，我们发现同一角的 弧长 与 半径 的比值是一个常数，据此引入了另一种角度单位——弧度制。

一个 $360^\circ$ 的周角对应整个圆周，其弧长为 $2\pi r$，半径为 $r$，所以比值为 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$，因此 $360^\circ=2\pi$ 弧度。

弧度与角度成正比，因此可以通过换算得到：

角度	弧度	角度	弧度
$0^\circ$	$0$	$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$180^\circ$	$\pi$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$360^\circ$	$2\pi$

单位圆

单位圆 指平面直角坐标系上，圆心为 原点 $O(0,0)$ 且半径为 单位长度 $1$ 的圆，方程为：

$$x^2+y^2=1$$

定义

锐角三角函数（直角三角形）

在初中阶段，我们学过 锐角 三角函数的定义：在 直角三角形 中，以一个 锐角 $\theta$ 为基准，定义 对边 $a$、邻边 $b$ 和 斜边 $c$ 中两边之比的函数。

如果，令：

$$\theta=\angle BAC,a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|$$

每个三角函数的定义为：

$$\sin\theta=\frac{a}{c},\cos\theta=\frac{b}{c},\tan\theta=\frac{a}{b},\cot\theta=\frac{b}{a},\sec\theta=\frac{c}{b},\csc\theta=\frac{c}{a}$$

任意角三角函数（单位圆）

锐角三角函数定义是基于 直角三角形 的，但直角三角形的锐角只能在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 范围内。

超出这个范围的三角函数就没有意义了，所以高中时会用 单位圆 定义 任意角 三角函数。

如图，将斜边为 $1$ 的直角三角形 $\triangle ABC$ 放入单位圆内。

代入 $\sin$ 和 $\cos$ 的锐角三角函数的定义：

$$\cos\theta=\frac{b}{c}=b,\sin\theta=\frac{a}{c}=a$$

而 $b$ 和 $a$ 是该直角三角形的两条直角边，也就是点 $B$ 的 横坐标 和 纵坐标。

因此，单位圆上辐角为 $\theta$ 的点 $B$ 的坐标为：

$$B(\cos\theta,\sin\theta)$$

tip

这个点的坐标是 $(\cos\theta,\sin\theta)$，注意 $\cos$ 和 $\sin$ 的位置顺序。

这就是 $\sin$ 和 $\cos$ 的定义，其他三角函数都可以通过它们计算得出。

性质

基本性质

函数	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
名称	正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
定义	$\frac{a}{c}$	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{c}{b}$	$\frac{c}{a}$
定义域	$x\in\mathbb{R}$	$x\in\mathbb{R}$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$
值域	$y\in[-1,1]$	$y\in[-1,1]$	$y\in\mathbb{R}$	$y\in\mathbb{R}$	$y\le-1\lor y\ge1$	$y\le-1\lor y\ge1$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	奇函数	偶函数	奇函数
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$	$\pi$	$2\pi$	$2\pi$

函数图像

三角函数的图像。

红色为 $\sin$，蓝色为 $\cos$，绿色为 $\tan$，橙色为 $\cot$，紫色为 $\sec$，黑色为 $\csc$。

正弦函数的图像叫做 正弦曲线：

$$y=\sin x$$

余弦函数同理。更一般的形式如下：

$$y=A\cos(\omega x+\varphi)$$

常用值速查表

角度	弧度	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$	$\cot\theta$	$\sec\theta$	$\csc\theta$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$1$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\infty$	$-1$	$\infty$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$-1$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$

恒等式

平方恒等式

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ $$1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$$ $$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$$

商数恒等式

$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ $$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

倒数恒等式

$$\sin\alpha=\frac{1}{\csc\alpha}$$ $$\cos\alpha=\frac{1}{\sec\alpha}$$ $$\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}$$

积的恒等式

$$\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha$$ $$\cos\alpha=\cot\alpha\sin\alpha$$ $$\tan\alpha=\sin\alpha\sec\alpha$$ $$\cot\alpha=\cos\alpha\csc\alpha$$ $$\sec\alpha=\tan\alpha\csc\alpha$$ $$\csc\alpha=\sec\alpha\cot\alpha$$

推导过程

在 $\triangle ABC$ 中，根据勾股定理：

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

等式两边同时除以 $\sin^2\theta$ 或 $\cos^2\theta$ 可得：

$$1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$$ $$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$$

对于其他三组恒等式，将三角函数的定义代入即可证明。

:::example：

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}=\tan\theta$$

:::

公式

两角和差公式

无字证明

一个优雅的无字证明：

：

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

：

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

推导过程

tip

余弦差角公式 是本文 唯一 需要通过几何推导来证明的公式。

其他公式都可以通过代入已有公式推导得出。

余弦差角公式推导：

如图，设 $\angle AOB'=\alpha,\angle BOB'=\beta$，则 $A,B$ 两点的坐标分别为 $A(\cos\alpha,\sin\alpha),B(\cos\beta,\sin\beta)$。

将 $OA$ 和 $OB$ 同时绕原点顺时针旋转 $\beta$，得到 $OA'$ 和 $OB'$。此时 $OB'$ 和 $x$ 轴重合，而 $\angle A'OB'=\alpha-\beta$。

所以 $A',B'$ 两点的坐标分别为 $A'(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta)),B'(1,0)$。

根据距离公式：

$$\begin{aligned} |AB|^2 & =(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2 \\ & =\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta \\ & =2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} |A'B'|^2 & =(\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta)-0)^2 \\ & =\cos^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1+\sin^2(\alpha-\beta) \\ & =2-2\cos(\alpha-\beta) \end{aligned}$$

显然 $\triangle ABO\cong\triangle A'B'O$，因此：

$$|AB|^2=|A'B'|^2$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

余弦和角公式推导：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) & =\cos(\alpha-(-\beta)) \\ & =\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ & =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}$$

正弦差角公式推导：

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos\theta+\sin\frac{\pi}{2}\sin\theta=\sin\theta$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)=\cos\theta$$ $$\begin{aligned} \sin(\alpha-\beta) & =\cos\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta)\right) \\ & =\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\beta\right) \\ & =\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta \\ & =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \end{aligned}$$

正弦和角公式推导：

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) & =\sin(\alpha-(-\beta)) \\ & =\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta) \\ & =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \end{aligned}$$

正切差角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan(\alpha-\beta) & =\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} \\ & =\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} \\ & =\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}$$

正切和角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan(\alpha+\beta) & =\tan(\alpha-(-\beta)) \\ & =\frac{\tan\alpha-\tan(-\beta)}{1+\tan\alpha\tan(-\beta)} \\ & =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$ $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

诱导公式

推导过程

诱导公式可以用和差角公式直接计算。

:::example：

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{2}\sin\alpha=\cos\alpha$$

:::

记忆方法

「奇变偶不变，符号看象限。」

1. 奇变偶不变：奇偶是指 $\frac{\pi}{2}$ 的系数，例如 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 是奇数，而 $\pi$ 和 $2\pi$ 是偶数。如果是偶数，公式前后函数名保持不变；如果是奇数，变为对应的函数名：

$$\sin\leftrightarrow\cos,\tan\leftrightarrow\cot,\sec\leftrightarrow\csc$$

2. 符号看象限：将 $\alpha$ 视为第一象限的角（例如 $\alpha=\frac{\pi}{4}$），计算前面函数的自变量在后面函数中的值的正负号：

象限	范围	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$	$\sec\alpha$	$\csc\alpha$
第一象限	$\left(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
第二象限	$\left(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi\right)$	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
第三象限	$\left(2k\pi+\pi,2k\pi+\frac{3\pi}{2}\right)$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
第四象限	$\left(2k\pi+\frac{3\pi}{2},2k\pi+2\pi\right)$	$-$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

原理：单位圆具有对称性和周期性；所有三角函数在第一象限内均为正数。

Example

化简 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)$。

1. $\frac{3\pi}{2}=3\cdot\frac{\pi}{2}$，系数 $3$ 是奇数，所以要将 $\sin$ 变为 $\cos$。
2. 把 $\alpha$ 看作第一象限角，则 $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ 为第三象限角，$\cos$ 在第三象限为负数，所以为负号。

综上所述，$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$。

tip

「诱导」指由现有结构自然生成的相关结构。

公式总结

第一组（$\frac{\pi}{2}$）：

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$

第二组（$\pi$）：

$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$$ $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$$ $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$ $$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$$

第三组（$\frac{3\pi}{2}$）：

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha$$ $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$$ $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha$$ $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha$$

第四组（$2\pi$）：

$$\sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha$$ $$\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha$$ $$\cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha$$ $$\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$$

二倍角公式

推导过程

余弦二倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \cos 2\alpha & =\cos(\alpha+\alpha) \\ & =\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ & =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \end{aligned}$$

tip

最后一行的三个公式等价。

正弦二倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \sin 2\alpha & =\sin(\alpha+\alpha) \\ & =\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha \\ & =2\sin\alpha\cos\alpha \end{aligned}$$

正切二倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan 2\alpha & =\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \\ & =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} \\ & =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} \\ & =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha/\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha/\cos^2\alpha-\sin^2\alpha/\cos^2\alpha} \\ & =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$ $$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

三倍角公式

推导过程

正弦三倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \sin 3\alpha & =\sin(2\alpha+\alpha) \\ & =\sin 2\alpha\cos\alpha+\cos 2\alpha\sin\alpha \\ & =2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)+(1-2\sin^2\alpha)\sin\alpha \\ & =3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \end{aligned}$$

余弦三倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \cos 3\alpha & =\cos(2\alpha+\alpha) \\ & =\cos 2\alpha\cos\alpha-\sin 2\alpha\sin\alpha \\ & =(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha \\ & =4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{aligned}$$

正切三倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan 3\alpha & =\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \\ & =\frac{3\sin\alpha-4\sin^3\alpha}{4\cos^3\alpha-3\cos\alpha} \\ & =\frac{4\sin\alpha\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{4\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)} \\ & =\tan\alpha\tan\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\tan\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right) \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$$ $$\cos 3\alpha=-3\cos\alpha+4\cos^3\alpha$$ $$\tan 3\alpha=\tan\alpha\tan\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\tan\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$$

半角公式

推导过程

余弦半角公式推导：

$$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$$

令 $\alpha=2\theta$。

$$\begin{array}{l} \cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1 \\ \implies\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2} \\ \implies\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \end{array}$$

正弦半角公式推导：

$$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$$

令 $\alpha=2\theta$。

$$\begin{array}{l} \cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2} \\ \implies\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} \\ \implies\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \end{array}$$

正切半角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan\frac{\alpha}{2} & =\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}} \\ & =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tan\frac{\alpha}{2} & =\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot2\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cdot2\cos\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tan\frac{\alpha}{2} & =\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \end{aligned}$$

tip

以上的三个正切半角公式等价。

公式总结

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$ $$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$ $$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

积化和差公式

推导过程

正弦两角和差公式：

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

令 $\sin\alpha\cos\beta=x,\cos\alpha\sin\beta=y$。

已知 $x,y$ 两数的和为 $\sin(\alpha+\beta)$，差为 $\sin(\alpha-\beta)$。

这是 小学二年级 的和差问题：

$$x=\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$ $$y=\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$

同理，用余弦两角和差公式，可以求出另外两组积化和差公式：

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=x-y$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=x+y$$ $$x=\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$ $$y=\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$$

记忆方法

44 Btext

sc=(s+s)/2
cs=(s-s)/2
cc=(c+c)/2
ss=-(c-c)/2

公式总结

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$ $$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$$

和差化积公式

推导过程

积化和差公式：

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$ $$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$$

令 $\alpha+\beta=A,\alpha-\beta=B$，则 $\alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}$。

代入积化和差公式：

$$\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}[\sin A+\sin B]$$ $$\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}[\sin A-\sin B]$$ $$\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}[\cos A+\cos B]$$ $$\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=-\frac{1}{2}[\cos A-\cos B]$$

移项得：

$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$ $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$ $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$ $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

公式总结

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

辅助角公式

推导过程

$$\begin{aligned} a\sin\theta+b\cos\theta & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right) \\ & =\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi\sin\theta+\sin\varphi\cos\theta) \\ & =\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi) \end{aligned}$$

tip

第一行到第二行，$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 的平方和等于 $1$，而 $\cos\varphi$ 和 $\sin\varphi$ 的平方和也等于 $1$，所以可以换元。

同理，可以将 $\cos\varphi$ 和 $\sin\varphi$ 交换位置。

$$\begin{aligned} a\sin\theta+b\cos\theta & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right) \\ & =\sqrt{a^2+b^2}(\sin\varphi\sin\theta+\cos\varphi\cos\theta) \\ & =\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi) \end{aligned}$$

公式总结

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi),\tan\varphi=\frac{b}{a}$$ $$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi),\tan\varphi=\frac{a}{b}$$

万能公式

推导过程

正弦万能公式推导：

$$\begin{aligned} \sin\alpha & =\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right) \\ & =2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} \\ & =\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} \end{aligned}$$

余弦万能公式推导：

$$\begin{aligned} \cos\alpha & =\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right) \\ & =\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2} \\ & =\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} \\ & =\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} \end{aligned}$$

正切万能公式推导：

$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

公式总结

$$\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$ $$\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$ $$\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

应用

三角函数在几何中广泛应用：

详见 解三角形。

详见 直线和圆。

扩展

以下内容为 高中物理 或 大学数学 的内容，可作为扩展阅读。

反三角函数

$$\sin(\arcsin x)=x$$

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双曲函数

$$e^{j\theta}=\cosh\theta+j\sinh\theta$$

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简谐运动

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

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傅里叶变换

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$

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