集合

Summary

作为继数之后第一个带运算与关系的抽象结构，讲集合的元素、常见数集 N、Z、Q、R、C 与记号，以及确定性、互异性、无序性三条性质。表示部分讲属于关系、列举法与描述法。关系部分讲相等、子集与超集、真子集、空集与全集。运算部分讲并集、交集、补集，并配文氏图。随后引入表示连续实数的区间及其无穷端点写法。末尾讲元素个数、含 n 个元素的集合有 2 的 n 次方个子集，以及两集合与三集合的容斥原理。

参考资料

• 集合 (数学) - 维基百科
• 数 - 维基百科

引入

在国内数学教育体系中，集合 是继 数 之后，第一个具备 运算 和 关系 的抽象数学结构。换句话说，我们将首次接触全新的数学对象——集合。

本章涉及的新概念较多，但都比较基础，在其他板块会经常用到。

概念

定义

《人教版高中数学·必修一》：一般地，我们把研究对象统称为 元素（element），把一些元素组成的总体叫做 集合（set），简称为 集。

理解

什么是集合？这是一个可以在网上提问并获得许多优质答案的问题。

我们无需深入研究，只需知道 集合 是 具有某种特定性质 的 事物的总体，而集合中的每个事物称为 元素。

集合的元素可以是各种不同的类型，这些都可以视为集合：

集合	元素类型	集合	元素类型
小于 $10$ 的正偶数	数	看过《乡土中国》的学生	人
所有等腰三角形	图形	你喝过的饮料种类	物品
一个集合所有的子集	集合	你在学校做过的事情	事件

一个集合可以包含 任意数量 的元素，可以是 $0$ 个，也可以是无穷多个。

记号

集合 通常用 $A,B,C$ 等 大写字母 表示，而集合中的 元素 通常用 $a,b,c$ 等 小写字母 表示。

数集

在数学中，通常研究的元素是 数，这样的集合称为 数集。

在小学和初中阶段，我们学习过许多类型的数，这些相同类型的数可以组成一些 数集：

数集	记号	示例	描述（所有……的集合）
自然数	$\mathbb{N}$	$0,1,2,5,26,10^{100}$	自然数（包含 零 和 正整数）
整数	$\mathbb{Z}$	$-3,-1,0,2,6,9$	整数（包含 自然数 和 负整数）
有理数	$\mathbb{Q}$	$-2,0,9.16,\frac{1}{4},-\frac{3}{7}$	有理数（可以表示为 分数 的数）
实数	$\mathbb{R}$	$0,-\frac{1}{9},\sqrt{2},7,\pi,e$	实数（包含 有理数 和 无理数）
复数	$\mathbb{C}$	$-1,0,3,i,\frac{1}{2}-\sqrt{2}i$	复数（包含 实数 和 虚数）

$$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$$

这些数集符号还可以添加 角标，通过 $+$ 和 $-$ 表示正负。

例如，$\mathbb{R}^+$ 表示 正实数，$\mathbb{R}^-$ 表示 负实数，$\mathbb{Z}^-$ 表示 负整数。

而 正整数 通常表示为 $\mathbb{N}^+$ 或 $\mathbb{N}^*$，也可以写作 $\mathbb{N}_1$、$\mathbb{N}_{>0}$、$\mathbb{Z}^+$ 等。

tip

这些约定俗成的特殊数集，在电脑排版时通常使用 黑板粗体（Blackboard Bold，BB）。

这种表示法最早起源于数学家在黑板上书写时，为了区分普通字母，会在字母上多加一笔。

$$\begin{array}{c} \mathbb{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M} \\ \mathbb{N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z} \end{array}$$

性质

普通集合有 $3$ 个常见性质：确定性、互异性、无序性。

确定性

确定性：集合中的所有元素都是 明确的。

每个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。

不允许出现「高个子的人」「比较小的数」这种的模棱两可的情况。

互异性

互异性：集合中任意两个元素 互不相同。

因为集合代表事物的总体，而相同的元素即为同一事物。

无序性

无序性：集合中的元素 没有顺序。

因为集合表示事物的总体，元素的顺序变化不会影响集合的性质。

表示

属于

如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，则称 $a$ 属于 集合 $A$，记为：

$$a\in A$$

类似地，如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，则称 $a$ 不属于 集合 $A$，记为：

$$a\notin A$$

集合一般由大括号 $\set{\dots}$ 包裹。

除了用 自然语言 描述集合，还有 $2$ 种常见的表示方法：列举法 和 描述法。

列举法

列举法：列举集合中 所有或部分元素，用逗号（$,$）分隔。

Example

• 「小于 $10$ 的正偶数」的集合可以表示为 $\set{2,4,6,8}$。
• 自然数集可以表示为 $\set{0,1,2,3,\dots}$。
• 「地球上的四大洋」的集合可以表示为 $\set{\text{太平洋},\text{大西洋},\text{印度洋},\text{北冰洋}}$。

当集合中的元素数量很多或无穷多时，列举法并不方便准确，因此需要更通用的方法。

描述法

描述法：列举集合中 元素满足的条件，用竖线（$|$）、冒号（$:$）或分号（$;$）分隔。

Example

• 「大于等于 $5$ 的实数」的集合可以表示为 $\set{\underbrace{x\in\mathbb{R}}_{\text{属于实数}}|\underbrace{x\ge 5}_{\text{大于等于} 5}}$。
• 「所有奇数」的集合可以表示为 $\set{\underbrace{x\in\mathbb{Z}}_{\text{属于整数}}|\underbrace{x=2k+1,k\in\mathbb{Z}}_{\text{是奇数}}}$。
• 「你喝过的饮料种类」的集合可以表示为 $\set{\underbrace{x\in\text{饮料种类}}_{\text{属于饮料种类}}|\underbrace{\text{你喝过 x}}_{\text{是你喝过的}}}$。

省略

在不产生歧义的情况下，我们可以省略一些常见的条件。

例如，我们通常默认一个数为实数：

$$\set{x\in\mathbb{R}|x\ge 5}\iff\set{x|x\ge 5}$$

关系

相等

构成两个集合 $A,B$ 的元素是一样的，我们就称这两个集合是 相等 的，记为：

$$A=B$$

子集 & 超集

如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，即 $A$ 包含于 $B$，则称 $A$ 是 $B$ 的 子集，记为：

$$A\subseteq B$$

也可以说 $B$ 包含 $A$，则称 $B$ 是 $A$ 的 超集，记为：

$$B\supseteq A$$

tip

符号 $\supseteq$ 原本表示 超集符号，但在高中阶段，很少涉及超集的概念。

因此，可以将其视为 子集符号 的反向表示。

推论

任何集合 $A$ 都同时是它自己的子集和超集，因为它的每个元素都属于它自己，符合定义：

$$A\subseteq A,A\supseteq A$$

如果 $B$ 包含 $A$，且 $A$ 包含 $B$，即相互包含，则 $A$ 和 $B$ 相等：

$$A\subseteq B,A\supseteq B\iff A=B$$

真子集 & 真超集

有时我们研究 $B$ 的子集 $A$ 时，不希望包含集合本身，即排除 $A=B$ 的情况，因此定义了 真子集，记为：

$$A\subsetneqq B$$

同理，还可以定义 真超集，记为：

$$B\subsetneqq A$$

真子集符号 $\subsetneqq$ 和真超集符号 $\supsetneqq$ 也常写作 $\subsetneq$ 和 $\supsetneq$。

如果集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，则 $A$ 一定是 $B$ 的子集，超集同理。

tip

集合之间的关系可以类比为数之间的关系：

• 子集（$\subseteq$）$\leftrightarrow$ 小于等于（$\le$）
• 超集（$\supseteq$）$\leftrightarrow$ 大于等于（$\ge$）
• 真子集（$\subsetneqq$）$\leftrightarrow$ 小于（$<$）
• 真超集（$\supsetneqq$）$\leftrightarrow$ 大于（$>$）

空集 & 全集

如果集合 $A$ 不含任何元素，则称为 空集，记为：

$$A=\varnothing$$

空集是任何集合的子集，因为空集内的每个元素（即没有元素）都属于任何集合，符合定义。

如果一个集合不是空集，则称为 非空集。

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称为 全集，通常记为 $U$。

运算

两个集合之间可以进行一些运算。

并集

包含集合 $A$ 和 $B$ 中所有元素的集合 $C$ 定义为 并集，记为：

$$A\cup B=C=\set{x|x\in A\text{ or }x\in B}$$

tip

并集的英文是 "Union Set"，因此并集符号 $\cup$ 类似于字母 U；而另一个 $\cap$ 就是交集符号。

交集

集合 $A$ 和 $B$ 中共有元素的集合 $C$ 定义为 交集，记为：

$$A\cap B=C=\set{x|x\in A\text{ and }x\in B}$$

补集

对于全集 $U$，除集合 $A$ 以外的其他元素的集合 $B$ 定义为 补集，记为：

$$\complement_U A=B=\set{x|x\notin A}$$

tip

补集符号 $\complement_U A$ 也常写作 $A^\complement$、$\overline{A}$ 或 $U\setminus A$。

在国内高中教材中，补集通常使用 $\complement_U A$，因为这种写法比较明确。

相比之下，$A^\complement$ 和 $\overline{A}$ 没有 标明全集，容易产生歧义。

在数学中，更常用的写法是 $U\setminus A$，它表示 差集，即属于 $U$ 但不属于 $A$ 的元素。

Example

已知三个集合：$A=\set{1,2,3}$，$B=\set{3,4,5}$，$U=\set{1,2,3,4,5,6}$。

则 $A\cup B=\set{1,2,3,4,5}$，$A\cap B=\set{3}$，$\complement_U A=\set{4,5,6}$。

区间

在研究 函数 时常会用到 区间 的概念，区间就是表示一段 连续实数 集合的简洁形式。

我们要表示 $a\sim b$（$a<b$）这段实数，包含 端点 $a,b$ 的是 闭区间，用 中括号 表示；不包含的是 开区间，用 小括号 表示。

根据两个端点 $a,b$ 的取值可以分为 $2\times 2=4$ 种区间：

区间	等价集合	名称
$[a,b]$	$\set{x\mid a\le x\le b}$	闭区间
$(a,b)$	$\set{x\mid a<x<b}$	开区间
$[a,b)$	$\set{x\mid a\le x<b}$	左闭右开区间
$(a,b]$	$\set{x\mid a<x\le b}$	左开右闭区间

如果区间的某个端点没有限制，可以用 无穷大 $\infty$ 表示，分为 正无穷大 $+\infty$ 和 负无穷大 $-\infty$。

用无穷大表示的端点都要表示为 开区间，因为任何数都不能等于无穷大。

区间	等价集合	区间	等价集合
$[a,+\infty)$	$\set{x\mid x\ge a}$	$(a,+\infty)$	$\set{x\mid x>a}$
$(-\infty,b]$	$\set{x\mid x\le b}$	$(-\infty,b)$	$\set{x\mid x<b}$
$(-\infty,+\infty)$	$\mathbb{R}$	$(-\infty,c)\cup(c,+\infty)$	$\set{x\mid x\ne c}$

计数

详见 计数原理。

元素个数

一个集合 $A$ 中的元素个数可以用 $\operatorname{card}(A)$ 表示，也可以用更简洁的符号 $|A|$ 表示。

$$\operatorname{card}(A)=|A|$$

tip

这里的 card 并不是指「卡片」，而是单词 cardinality（基数）的缩写。

子集个数

如果集合 $A$ 的元素个数为 $n\ge 2$，即：

$$|A|=n$$

那么，集合 $A$ 有多少个子集呢？

不难发现，集合 $A$ 中的每个元素都有 $2$ 种选择：选或不选。

对于这 $n$ 个元素，每个都有 $2$ 种选择，根据 乘法原理，总共有 $2^n$ 种可能。

因此，集合 $A$ 有：

• $2^n$ 个子集。
• $2^n-1$ 个真子集（排除 自身）。
• $2^n-1$ 个非空子集（排除 空集）。
• $2^n-2$ 个非空真子集（排除 自身 和 空集）。

容斥原理

对于任意两个集合 $A,B$，有：

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

要计算 $A$ 和 $B$ 并集的元素个数，通常情况下，我们会将 $|A|$ 和 $|B|$ 直接相加。

但由于交集 $A\cap B$ 中的元素被重复计算，因此需要减去 $|A\cap B|$。

Example

在一个班级中，有 $20$ 人喜欢语文，有 $25$ 人喜欢数学，有 $10$ 人同时喜欢语文和数学。

求至少喜欢一门（语文或数学）的人有多少？

设集合 $A$ 表示喜欢语文的人，集合 $B$ 表示喜欢数学的人，则：

$$|A|=20,|B|=25,|A\cap B|=10$$

根据容斥原理：

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=20+25-10=35$$

因此至少喜欢一门的人有 $35$ 个。

同理，也可以写出三个集合的容斥关系：

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$$