积分

Summary

数值积分给出辛普森积分法，用一段二次抛物线拟合被积函数，得到区间积分的近似式 (b−a)/6 乘 f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)。自适应辛普森递归地把区间二分，当左右两半的辛普森值之和与整段足够接近时停止，否则继续细分，从而在保证精度的同时控制计算量。给出 simpson 与 asr 两个函数的实现，调用时传入被积函数与初始区间即可求出定积分。

参考资料

• 数值积分 - OI Wiki
• 辛普森積分法 - 维基百科

辛普森积分法

$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\approx\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$$

辛普森法用一段二次抛物线拟合被积函数，得到上面的近似式。自适应辛普森 递归地把区间二分：当左右两半的辛普森值之和与整段足够接近时停止，否则继续细分，从而在保证精度的同时控制计算量。下面的 f 为被积函数，调用 asr(l,r,eps,simpson(l,r)) 即得 $[l,r]$ 上的积分。

318 Bcpp

double simpson(double l,double r)
{
	double mid=(l+r)/2;
	return (r-l)*(f(l)+4*f(mid)+f(r))/6;
}
double asr(double l,double r,double eps,double s)
{
	double mid=(l+r)/2;
	double sl=simpson(l,mid),sr=simpson(mid,r);
	if(fabs(sl+sr-s)<=15*eps)return sl+sr+(sl+sr-s)/15;
	return asr(l,mid,eps/2,sl)+asr(mid,r,eps/2,sr);
}

例题

洛谷 P4525 【模板】自适应辛普森法 1

试计算积分：

$$\displaystyle{\int_L^R\frac{cx+d}{ax+b}\mathrm{d}x}$$

结果保留至小数点后 $6$ 位。

洛谷 P4526 【模板】自适应辛普森法 2

给定实数 $a$，计算积分 $\displaystyle{\int_0^\infty x^{\frac{a}{x}-x}\mathrm{d}x}$。若积分发散，请输出 orz。（$|a|\le 50$）