区间 DP

Summary

区间 DP（Interval DP）是线性 DP 的扩展，以区间长度为阶段，在小区间最优解的基础上合并出大区间的最优解。设 f(i,j) 为合并区间 i 到 j 的最优值，枚举断点 k 转移，合并代价 w(i,j) 视具体问题而定。以石子合并为例，每次合并相邻两堆、得分为两堆之和，w 取区间元素之和并用前缀和 O(1) 求出，按长度从小到大转移，复杂度 O(n^3)；若石子排成环，则把序列复制一倍接在末尾，再对所有长度为 n 的区间取最优。页内附完整实现。

参考资料

• 区间 DP - OI Wiki

简介

区间 DP（Interval DP）是线性 DP 的扩展，以区间长度为阶段，在小区间最优解的基础上合并出大区间的最优解。

设 $f(i,j)$ 表示合并区间 $[i,j]$ 的最优值，枚举断点 $k$ 转移：

$$f(i,j)=\min_{i\le k<j}\set{f(i,k)+f(k+1,j)+w(i,j)}$$

其中 $w(i,j)$ 为合并两段的代价。

以石子合并为例：$n$ 堆石子排成一列，每次合并相邻两堆，得分为两堆之和，求最小总得分。此时 $w(i,j)=\sum_{t=i}^j a_t$，用前缀和 $O(1)$ 求出。按区间长度从小到大转移，时间复杂度为 $O(n^3)$。

若石子排成环，把序列复制一倍接在末尾，再对所有长度为 $n$ 的区间取最优即可。

实现

523 Bcpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=305;
int a[N],s[N],f[N][N];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		s[i]=s[i-1]+a[i];
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=0;
	for(int len=1;len<n;len++)
	{
		for(int i=1;i+len<=n;i++)
		{
			int j=i+len;
			for(int k=i;k<j;k++)
			{
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n]<<'\n';
	return 0;
}

例题

洛谷 P1880 [NOI1995] 石子合并

在一个圆形操场的四周摆放 $N$ 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 $2$ 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法，计算出将 $N$ 堆石子合并成 $1$ 堆的最小得分和最大得分。