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二分

Summary

二分(Binary Search)借助答案的单调性,每次将区间折半逼近边界,复杂度 O(logn)。约定 check 函数的返回序列形如若干 0 接若干 1,循环结束后 l 即第一个 1 的位置、l-1 为最后一个 0 的位置,据此给出整数与实数两套写法。三分(Ternary Search)处理单峰或单谷函数的极值,每轮取区间的两个三等分点,比较两处函数值排除不含极值的一侧,同样是对数级复杂度。

参考资料​

二分​

二分(Binary Search)利用答案的单调性,每次将区间折半,时间复杂度为 O(log⁡n)O(\log n)。

check 函数的返回值应为 { 0,0,…,0,0,1,1,…,1,1 }\set{0,0,\dots,0,0,1,1,\dots,1,1}。

二分结束后,ll 为第一个 11 的位置,l−1l-1 为最后一个 00 的位置。

83 Bcpp
int l=x,r=y+1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(check(mid))r=mid;
else l=mid+1;
}

三分​

三分(Ternary Search)用于求单峰(单谷)函数的极值点。每次在区间内取三等分点 m1,m2m_1,m_2,比较 f(m1)f(m_1) 与 f(m2)f(m_2) 的大小来排除不含极值的一侧,时间复杂度为 O(log⁡n)O(\log n)。

找最大值时若 f(m1)>f(m2)f(m_1)>f(m_2),排除右侧;找最小值时若 f(m1)<f(m2)f(m_1)<f(m_2),排除右侧。

103 Bcpp
double l=x,r=y;
while(r-l>eps)
{
double m1=(l*2+r)/3,m2=(l+r*2)/3;
if(f(m1)>f(m2))r=m2;
else l=m1;
}

例题​

输入 nn 个不超过 10910^9 的单调不减的(就是后面的数字不小于前面的数字)非负整数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n,然后进行 mm 次询问。对于每次询问,给出一个整数 qq,要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号,如果没有找到的话输出 −1-1。

给定 nn 个形如 ax2+bx+cax^2+bx+c 的二次函数 f1(x),f2(x),…,fn(x)f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x),设 F(x)=max⁡fi(x)F(x)=\max f_i(x),求 F(x)F(x) 在区间 [0,1000][0,1000] 上的最小值。

给出一个 NN 次函数,保证在范围 [l,r][l, r] 内存在一点 xx,使得 [l,x][l, x] 上单调增,[x,r][x, r] 上单调减。试求出 xx 的值。

有两个城市,中间相隔着一条笔直的河,现在要修路修桥将这两个城市联通,请找出一种方案使总的花费最小。