题解：P9408 『STA - R2』Locked

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• 洛谷 P9408 『STA - R2』Locked

解题思路

1. 设 $f(x,y)$ 为将 $x$ 变成 $y$ 的拨动次数，不难写出 $f(x,y)$ 的通式：

$$f(x,y)=\min(\lvert(x-y+10)\bmod 10\rvert,\lvert(y-x+10)\bmod 10\rvert)$$

2. 考虑使用 DP 解决。设 $f1_{i,j}$ 表示前 $i$ 个位置单调不减且以 $j$ 结尾的序列最小拨动次数，显然前一项不能比后一项大，所以后一项只能由小于等于前一项的结果中取最小值，得出 DP 递推方程：

$$f1_{i,j}=\min_{k=1}^j f1_{i-1,k}+f(a_i,j)$$

3. 同理，设 $f2_{i,j}$ 表示后 $i$ 个位置单调不减且以 $j$ 开头的序列最小拨动次数，得出 DP 递推方程：

$$f2_{i,j}=\min_{k=1}^j f1_{i+1,k}+f(a_i,j)$$

4. 枚举所有的 $i,j$，表示以 $i$ 为峰顶，以 $j$ 为峰值的拨动次数，峰顶会被重复计算 $1$ 次，所以要减去 $f(a_i,j)$ 再取最小值：

$$ans=\min_{i=1}^n \min_{j=0}^9 f1_{i,j}+f2_{i,j}-f(a_i,j)$$

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5000005;
int a[N],f1[N][10],f2[N][10];
int f(int x,int y)
{
	return min(abs((x-y+10)%10),abs((y-x+10)%10));
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<10;j++)
		{
			f1[i][j]=inf;
			f2[i][j]=inf;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<10;j++)
		{
			for(int k=0;k<=j;k++)
			{
				f1[i][j]=min(f1[i][j],f1[i-1][k]+min(abs((a[i]-j+10)%10),abs((j-a[i]+10)%10)));
			}
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=0;j<10;j++)
		{
			for(int k=0;k<=j;k++)
			{
				f2[i][j]=min(f2[i][j],f2[i+1][k]+min(abs((a[i]-j+10)%10),abs((j-a[i]+10)%10)));
			}
		}
	}
	int ans=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<10;j++)
		{
			ans=min(ans,f1[i][j]+f2[i][j]-min(abs((a[i]-j+10)%10),abs((j-a[i]+10)%10)));
		}
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}