题解：P1999 高维正方体

题意简述

求 $a$ 维空间的超立方体有几个 $b$ 维结构。

解题思路

将超立方体视为 $[0,1]^a$，每个 $b$ 维结构等价于选取 $b$ 个坐标自由变化，其余 $a-b$ 个坐标分别固定为 $0$ 或 $1$，因此答案为：

$$C_a^b2^{a-b}$$

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int mod=1e9+7;
ll Pow(ll a,ll b)
{
	a%=mod;
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
ll C(ll a,ll b)
{
	if(a<b||b<0)return 0;
	ll p=1,q=1;
	for(ll i=a-b+1;i<=a;i++)p=p*i%mod;
	for(ll i=1;i<=b;i++)q=q*i%mod;
	return p*Pow(q,mod-2)%mod;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	ll a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<C(a,b)*Pow(2,a-b)%mod<<'\n';
	return 0;
}