一道有趣的不等式题。

题目

已知 $x,y,z\ge 0$，且 $x+2y+3z\le 6$，证明：

$$xyz(x+y)(y+z)(x+y+z)\le 27$$

换元

令：

$$a=z,b=y+z,c=x+y+z$$

则 $0\le a\le b\le c$，且：

$$a+b+c=x+2y+3z\le 6$$

反解可得：

$$x=c-b,y=b-a,z=a$$

因此原式化为：

$$V=abc(b-a)(c-a)(c-b)$$

这正是 $0,a,b,c$ 之间全部六个两两距离的乘积。

若其中两个数相等，则 $V=0$，结论成立。以下仅考虑 $0<a<b<c$。

$V$ 是六次齐次式。若 $a+b+c<6$，将三者同比放大到和为 $6$，$V$ 会增大。因此最大值必在 $a+b+c=6$ 时取得。

驻点

取对数：

$$F=\ln a+\ln b+\ln c+\ln(b-a)+\ln(c-a)+\ln(c-b)$$

各项都是正线性函数的对数，因此都是凹函数。其中 $\ln a+\ln b+\ln c$ 的 Hessian 负定，所以 $F$ 严格凹。闭可行域上的 $V$ 在边界为 $0$，在内部为正。因此最大值必在唯一的内点取得，这个内点就是 $F$ 的驻点。

对约束 $a+b+c=6$ 使用拉格朗日乘数法：

$$\frac{\partial F}{\partial a}=\frac{\partial F}{\partial b}=\frac{\partial F}{\partial c}=\lambda$$

由于 $V$ 为六次齐次式：

$$a\frac{\partial F}{\partial a}+b\frac{\partial F}{\partial b}+c\frac{\partial F}{\partial c}=6$$

又有 $a+b+c=6$，所以 $\lambda=1$。驻点方程为：

$$\begin{aligned} \frac{1}{a}-\frac{1}{b-a}-\frac{1}{c-a} & =1 \\ \frac{1}{b}+\frac{1}{b-a}-\frac{1}{c-b} & =1 \\ \frac{1}{c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{c-b} & =1 \end{aligned}$$

直接联立这三个分式方程并不方便。下面用一个多项式同时处理它们。

根多项式

设：

$$g(t)=t(t-a)(t-b)(t-c)=t^4-6t^3+pt^2-qt$$

其中：

$$p=ab+ac+bc,q=abc$$

对任意 $r\in\set{a,b,c}$，驻点方程都可以写成：

$$\sum_{s\in\set{0,a,b,c}\setminus\set{r}}\frac{1}{r-s}=1$$

将 $g(t)$ 写成 $(t-r)h(t)$，在 $t=r$ 处有：

$$\frac{g''(r)}{2g'(r)}=\frac{h'(r)}{h(r)}=\sum_{s\ne r}\frac{1}{r-s}=1$$

所以 $a,b,c$ 都是三次多项式 $g''(t)-2g'(t)$ 的根。比较首项系数：

$$g''(t)-2g'(t)=-8(t^3-6t^2+pt-q)$$

展开左边：

$$g''(t)-2g'(t)=-8t^3+48t^2-(4p+36)t+2p+2q$$

比较一次项和常数项：

$$4p+36=8p,2p+2q=8q$$

解得：

$$p=9,q=3$$

因此 $a,b,c$ 是三次方程：

$$t^3-6t^2+9t-3=0$$

的三个根。

最大值

三次多项式 $t^3-6t^2+9t-3$ 的判别式为：

$$\begin{aligned} \Delta & =18\cdot 6\cdot 9\cdot 3-4\cdot 6^3\cdot 3+6^2\cdot 9^2-4\cdot 9^3-27\cdot 3^2 \\ & =81 \end{aligned}$$

另一方面，判别式正是三个根的两两之差的平方之积：

$$\Delta=(b-a)^2(c-a)^2(c-b)^2$$

结合 $abc=q=3$：

$$V^2=(abc)^2\Delta=3^2\cdot 81=729$$

因为 $V>0$，所以该驻点处：

$$V=27$$

该驻点是全局最大值点。因此对任意满足条件的 $a,b,c$，均有 $V\le 27$。

等号

令 $t=u+2$，三次方程化为 $u^3-3u-1=0$。再令 $u=2\cos\theta$，利用 $u^3-3u=2\cos 3\theta$，可得三个根。它们按从小到大排列为：

$$\begin{aligned} a & =2-2\cos\frac{2\pi}{9} \\ b & =2-2\cos\frac{4\pi}{9} \\ c & =2+2\cos\frac{\pi}{9} \end{aligned}$$

由 $(x,y,z)=(c-b,b-a,a)$，等号在下列取值处成立：

$$\begin{aligned} x & =2\cos\frac{\pi}{9}+2\cos\frac{4\pi}{9}\approx 2.22668160 \\ y & =2\cos\frac{2\pi}{9}-2\cos\frac{4\pi}{9}\approx 1.18479253 \\ z & =2-2\cos\frac{2\pi}{9}\approx 0.46791111 \end{aligned}$$