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数学：求根公式

Summary

从代数基本定理与韦达定理入手，依次推导一次、二次、三次、四次方程的求根公式。统一的套路是最高项归一、换元消去次高项，再借配方、拆分或平方差把问题降到低次，每一次都给出判别式与实根、复根的分类讨论。最后用伽罗瓦理论与 Abel–Ruffini 定理说明五次及以上的一般方程不存在通用的根式解。

多项式方程的求根公式推导过程。

参考资料​

简介​

在初中阶段，我们学习了二次方程的求根公式，但之后就再也没讲过更高次方程的求根公式。

那么，三次方程和四次方程的求根公式是什么呢？它们是如何推导出来的？

约定​

为便于理解，本文约定：

  1. 所有的方程都是一元多项式方程，即只有一个未知数。
  2. 单项式也属于多项式。
tip

「多项式」这个术语有些歧义：教科书中单项式与多项式统称为 整式，多项式至少要有两项。但很多时候我们讨论多项式，并不会刻意把只有一项的情形排除在外，换言之整式这个术语经常会被多项式给夺舍。

基础知识​

代数基本定理​

代数基本定理：任何一个复系数多项式方程至少有一个复数根。

设 f(x)f(x) 是 nn 次复系数多项式，根据代数基本定理，它至少有一个根 x1x_1。

因此根据 因式定理，f(x)f(x) 可表示为：

f(x)=(x−x1)g(x)f(x)=(x-x_1)g(x)

其中，g(x)g(x) 是一个 n−1n-1 次复系数多项式。

反复使用这一拆分过程，最终可以将 f(x)f(x) 完全因式分解为 nn 个一次多项式的乘积。

因此，该定理还有另外两种等价描述：

  1. 任何一个 nn 次复系数多项式，都正好有 nn 个复数根（重根视为多个根）。
  2. 任何一个 nn 次复系数多项式，都可以因式分解为 nn 个复系数一次多项式的乘积。

韦达定理​

韦达定理（Vieta's Theorem）描述了 多项式方程 的 根 与 系数 之间的关系。

设多项式 f(x)f(x) 的 n−rn-r 次项系数为 an−ra_{n-r}，即：

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=∑r=0nxn−ran−rf(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum_{r=0}^n x^{n-r}a_{n-r}

对于第二种等价描述，设 f(x)f(x) 的 nn 个根分别为 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\dots,x_n，则：

f(x)=an(x−x1)(x−x2)…(x−xn)=0f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)=0

代入任意根 xix_i，均有 f(xi)=0f(x_i)=0，方程显然成立。

通过这个定理可以轻松推导出 韦达定理。

将因式分解式展开：

f(x)=an(x−x1)(x−x2)…(x−xn)=xn⋅an+xn−1⋅an(−x1−x2−⋯−xn)+xn−2⋅an(x1x2+x1x3+⋯+x1xn+x2x3+⋯+xn−1xn)+…+xn−r⋅an[∑1≤i1<i2<⋯<ir−1<ir≤n(−xi1)(−xi2)…(−xir−1)(−xir)]+…+an(−1)n(x1x2…xn)=∑r=0nxn−ran(−1)r(∑xi1xi2…xir−1xir)\begin{aligned} f(x) & =a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n) \\ & =x^n\cdot a_n \\ & +x^{n-1}\cdot a_n (-x_1-x_2-\dots-x_n) \\ & +x^{n-2}\cdot a_n (x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_1x_n+x_2x_3+\dots+x_{n-1}x_n) \\ & +\dots \\ & +x^{n-r}\cdot a_n\left[\sum_{1\le i_1<i_2<\dots<i_{r-1}<i_r\le n}(-x_{i_1})(-x_{i_2})\dots(-x_{i_{r-1}})(-x_{i_r})\right] \\ & +\dots \\ & +a_n(-1)^n(x_1x_2\dots x_n) \\ & =\sum_{r=0}^n x^{n-r}a_n(-1)^r\left(\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_{r-1}}x_{i_r}\right) \end{aligned}

因为多项式每一项系数相等，整理得：

an−r=an(−1)r(∑xi1xi2…xir−1xir)a_{n-r}=a_n(-1)^r\left(\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_{r-1}}x_{i_r}\right)

最终结论：

∑xi1xi2…xir−1xir=(−1)ran−ran\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_{r-1}}x_{i_r}=(-1)^r\frac{a_{n-r}}{a_n}

这就是系数与根的对称关系，也就是韦达定理的内容。

一次方程​

一般形式​

ax+b=0(a≠0)ax+b=0\left(a\ne 0\right)

推导过程​

最高项归一​

方程两边同时除以 aa，使最高次项系数化为 11：

x+ba=0(a≠0)x+\frac{b}{a}=0\left(a\ne 0\right)

整理​

移项：

x=−bax=-\frac{b}{a}

求根公式​

x=−bax=-\frac{b}{a}

二次方程​

一般形式​

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)

推导过程​

最高项归一​

方程两边同时除以 aa，使最高次项系数化为 11：

x2+bax+ca=0x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

思想​

对于一般的二次方程，如果注意力涣散，很难瞪出求根公式。

但如果没有一次项：

x2+t=0x^2+t=0

解方程就变得非常容易：

x=±−tx=\pm\sqrt{-t}

因此我们可以通过 换元法 消除一次项。

次高项归零​

令：

x←x0−b2ax\gets x_0-\frac{b}{2a}

代入：

(x0−b2a)2+ba(x0−b2a)+ca=0\left(x_0-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b}{a}\left(x_0-\frac{b}{2a}\right)+\frac{c}{a}=0

展开：

(x02−bx0a+b24a2)+(bx0a−b22a2)+ca=0\left(x_0^2-\frac{bx_0}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\left(\frac{bx_0}{a}-\frac{b^2}{2 a^2}\right)+\frac{c}{a}=0

化简：

x02+ca−b24a2=0x_0^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0 x0=±b2−4ac4a2x_0=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

还原：

x=±b2−4ac2a−b2ax=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}

配方法​

以上推导方法为 换元法，还可以使用 配方法 推导。

配方法

移项：

x2+bax=−cax^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

通过 配方法，使方程左边变为一个完全平方式。方程两边同时加上 (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2：

x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2

化简：

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

将平方转化为开根：

x+b2a=±b2−4ac4a2x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

移项：

x=±b2−4ac2a−b2ax=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}

整理​

解得：

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

求根公式​

x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

分类讨论​

令判别式：

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
  • 若 Δ>0\Delta>0，有两个不等实数根 x1=−b+Δ2a,x2=−b−Δ2ax_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}；
  • 若 Δ=0\Delta=0，有两个相等实数根 x1=x2=−b2ax_1=x_2=-\frac{b}{2a}；
  • 若 Δ<0\Delta<0，有两个共轭复数根 x1=−b2a+−Δ2ai,x2=−b2a−−Δ2aix_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i,x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i。
warning

根的判别式不适用于非实系数的二次方程。

三次方程​

一般形式​

ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^3+bx^2+cx+d=0\left(a\ne 0\right)

推导过程​

最高项归一​

方程两边同时除以 aa，使最高次项系数化为 11：

x3+bax2+cax+da=0x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0

思想​

二次方程求根公式推导的核心，在于如何通过配方把平方转化为开根。

但三次方程无法直接配方，要先用换元法消除二次项。

次高项归零​

令：

x←x0−b3ax\gets x_0-\frac{b}{3a}
为什么是 −b3a-\frac{b}{3a}？

设三次函数：

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d

设：

x←x0+tx\gets x_0+t

代入方程：

(x0+t)3+ba(x0+t)2+ca(x0+t)+da=0\left(x_0+t\right)^3+\frac{b}{a}\left(x_0+t\right)^2+\frac{c}{a}\left(x_0+t\right)+\frac{d}{a}=0

展开：

(x03+3tx02+3t2x0+t3)+(bx02a+2btx0a+bt2a)+(cx0a+cta)+da=0\left(x_0^3+3tx_0^2+3t^2x_0+t^3\right)+ \left(\frac{bx_0^2}{a}+\frac{2btx_0}{a}+\frac{bt^2}{a}\right)+ \left(\frac{cx_0}{a}+\frac{ct}{a}\right)+ \frac{d}{a}=0

化简：

x03+(3t+ba)x02+(3t2+2bta+ca)x0+(t3+bt2a+cta+da)x_0^3+\left(3t+\frac{b}{a}\right)x_0^2+\left(3t^2+\frac{2bt}{a}+\frac{c}{a}\right)x_0+\left(t^3+\frac{bt^2}{a}+\frac{ct}{a}+\frac{d}{a}\right)

要让二次项系数 3t+ba=03t+\frac{b}{a}=0，可以令：

t=−b3at=-\frac{b}{3a}

代入：

(x0−b3a)3+ba(x0−b3a)2+ca(x0−b3a)+da=0\left(x_0-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(x_0-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(x_0-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0

展开：

x03+(ca−b23a2)x0+(2b327a3−bc3a2+da)=0x_0^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)x_0+\left(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\right)=0

令：

p=ca−b23a2,q=2b327a3−bc3a2+dap=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}

此时方程的最高次项系数为 11，并消除了二次项：

x03+px0+q=0x_0^3+px_0+q=0

拆分​

令 x0=u+vx_0=u+v，代入：

(u+v)3+p(u+v)+q=0(u+v)^3+p(u+v)+q=0

展开：

u3+v3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0 u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0

赋值​

为了让它成立，可以令：

{u3+v3=−q3uv+p=0  ⟹  u3v3=(−p3)3\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ 3uv+p=0\implies u^3v^3=\left(-\frac{p}{3}\right)^3 \end{cases}

设 U=u3,V=v3U=u^3,V=v^3，代入：

{U+V=−qUV=(−p3)3\begin{cases} U+V=-q \\ UV=\left(-\frac{p}{3}\right)^3 \end{cases}

因此 UU 和 VV 是如下二次方程的两个根：

X2+qX−p327=0X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0

解得：

X1,X2=−q±q2+4p3272=−q2±(q2)2+(p3)3X_1,X_2=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}

令：

U=X1=−q2+(q2)2+(p3)3U=X_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3} V=X2=−q2−(q2)2+(p3)3V=X_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}

还原：

u=U3=−q2+(q2)2+(p3)33u=\sqrt[3]{U}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} v=V3=−q2−(q2)2+(p3)33v=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}

整理​

解得：

x0=u+v=U3+V3x_0=u+v=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}

还原：

x1=u+v−b3a,x2=ωu+ω2v−b3a,x3=ω2u+ωv−b3ax_1=u+v-\frac{b}{3a},x_2=\omega u+\omega^2 v-\frac{b}{3a},x_3=\omega^2 u+\omega v-\frac{b}{3a}
tip

由于 u3,v3u^3,v^3 是共轭复数，引入单位根 ω=−1+3i2\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} 可得到其余两个复根。

求根公式​

p=ca−b23a2,q=2b327a3−bc3a2+dap=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a} u=−q2+(q2)2+(p3)33,v=−q2−(q2)2+(p3)33u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}},v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} x1=u+v−b3a,x2=ωu+ω2v−b3a,x3=ω2u+ωv−b3ax_1=u+v-\frac{b}{3a},x_2=\omega u+\omega^2 v-\frac{b}{3a},x_3=\omega^2 u+\omega v-\frac{b}{3a}

分类讨论​

根据 介值定理，三次方程至少有一个实数根。

介值定理（Intermediate Value Theorem）：假设 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} 为连续函数。若实数 uu 满足 (f(a)−u)(f(b)−u)≤0(f(a)-u)(f(b)-u)\le 0，则存在实数 c∈[a,b]c\in[a,b] 使得 f(c)=uf(c)=u。

特别地，当 u=0u=0 时即为 波尔查诺定理（Bolzano's Theorem），也称为 零点存在定理（Existence of a Zero）。

令判别式：

Δ=18abcd−4b3d+b2c2−4ac3−27a2d2\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2
  • 若 Δ>0\Delta>0，有三个不相等实数根；
  • 若 Δ=0\Delta=0，有实数重根（即至少两个实根相等）；
  • 若 Δ<0\Delta<0，有一个实根和两个共轭复数根。

四次方程​

一般形式​

ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\left(a\ne 0\right)

推导过程​

最高项归一​

方程两边同时除以 aa，使最高次项系数化为 11：

x4+bax3+cax2+dax+ea=0x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0

次高项归零​

同二次、三次方程，令：

x←x0−b4ax\gets x_0-\frac{b}{4a}

代入：

(x0−b4a)4+ba(x0−b4a)3+ca(x0−b4a)2+da(x0−b4a)+ea=0\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)^4+\frac{b}{a}\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)^3+\frac{c}{a}\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)^2+\frac{d}{a}\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)+\frac{e}{a}=0

展开：

x04+(8ac−3b28a2)x02+(b3−4abc+8a2d8a3)x0+−3b4+16ab2c−64a2bd+256a3e256a4=0x_0^4+\left(\frac{8ac-3b^2}{8a^2}\right)x_0^2+\left(\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3}\right)x_0+\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}=0

令：

p=8ac−3b28a2,q=b3−4abc+8a2d8a3,r=−3b4+16ab2c−64a2bd+256a3e256a4p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2},q=\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3},r=\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}

此时方程的最高次项系数为 11，并消除了三次项：

x04+px02+qx0+r=0x_0^4+px_0^2+qx_0+r=0

思想​

四次方程的目标仍然是「配平方」。

更具体地，我们希望把四次式变成 两个平方的差，从而使用平方差分解，把问题拆成两个二次方程。

配平方​

引入参数 mm：

x04+px02+qx0+r=(x02+m)2+(p−2m)x02+qx0+(r−m2)x_0^4+px_0^2+qx_0+r = (x_0^2+m)^2+(p-2m)x_0^2+qx_0+(r-m^2)

若能令：

(p−2m)x02+qx0+(r−m2)=(p−2mx0+t)2(p-2m)x_0^2+qx_0+(r-m^2)=\left(\sqrt{p-2m}x_0+t\right)^2

则可将四次式写成平方差。

展开右侧：

(p−2mx0+t)2=(p−2m)x02+2tp−2mx0+t2\left(\sqrt{p-2m}x_0+t\right)^2=(p-2m)x_0^2+2t\sqrt{p-2m}x_0+t^2

对比一次项：

q=2tp−2m  ⟹  t=q2p−2mq=2t\sqrt{p-2m} \implies t=\frac{q}{2\sqrt{p-2m}}

对比常数项：

r−m2=t2=q24(p−2m)r-m^2=t^2=\frac{q^2}{4(p-2m)}

分解三次方程​

将：

r−m2=q24(p−2m)r-m^2=\frac{q^2}{4(p-2m)}

两边同乘 4(p−2m)4(p-2m)：

4(p−2m)(r−m2)=q24(p-2m)(r-m^2)=q^2

化简得到关于 mm 的三次方程：

2m3−pm2−2rm+pr−q24=02m^3-pm^2-2rm+pr-\frac{q^2}{4}=0

只要解出该方程的一个根 mm，就能继续分解四次方程。

平方差分解​

令：

A=p−2m,t=q2AA=\sqrt{p-2m},t=\frac{q}{2A}

则：

x04+px02+qx0+r=(x02+m)2−(Ax0+t)2x_0^4+px_0^2+qx_0+r=(x_0^2+m)^2-(Ax_0+t)^2

平方差分解：

(x02+m−Ax0−t)(x02+m+Ax0+t)=0(x_0^2+m-Ax_0-t)(x_0^2+m+Ax_0+t)=0

即得到两个二次方程：

x02−Ax0+(m−t)=0x_0^2-Ax_0+(m-t)=0 x02+Ax0+(m+t)=0x_0^2+Ax_0+(m+t)=0

分别求解：

x0=A±A2−4(m−t)2x_0=\frac{A\pm\sqrt{A^2-4(m-t)}}{2} x0=−A±A2−4(m+t)2x_0=\frac{-A\pm\sqrt{A^2-4(m+t)}}{2}

最后还原：

x=x0−b4ax=x_0-\frac{b}{4a}

四次方程的闭式求根公式，本质上就是把：

  1. 解上述「分解三次方程」（得到 mm）；
  2. 解两个二次方程（得到 x0x_0）；
  3. 平移还原（得到 xx）；

全部展开后的结果。

求根公式​

Δ1=c2−3bd+12ae\Delta_1=c^2-3bd+12ae Δ2=2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace\Delta_2=2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace Δ=23Δ13aΔ2+−4Δ13+Δ223+Δ2+−4Δ13+Δ223323a\Delta=\frac{\sqrt[3]{2}\Delta_1}{3a\sqrt[3]{\Delta_2+\sqrt{-4\Delta_1^3+\Delta_2^2}}}+\frac{\sqrt[3]{\Delta_2+\sqrt{-4\Delta_1^3+\Delta_2^2}}}{3\sqrt[3]{2}a} x1=−b4a−12b24a2−2c3a+Δ−12b22a2−4c3a−Δ−−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+Δx_1=-\frac{b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\Delta-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4bc}{a^2}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}}} x2=−b4a−12b24a2−2c3a+Δ+12b22a2−4c3a−Δ−−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+Δx_2=-\frac{b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\Delta-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4bc}{a^2}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}}} x3=−b4a+12b24a2−2c3a+Δ−12b22a2−4c3a−Δ−−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+Δx_3=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\Delta-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4bc}{a^2}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}}} x4=−b4a+12b24a2−2c3a+Δ+12b22a2−4c3a−Δ−−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+Δx_4=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\Delta-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4bc}{a^2}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\Delta}}}

五次及以上方程​

伽罗瓦理论 指出，对于「一般五次及以上方程」，不存在类似二次/三次/四次那样的 通用求根公式。

更严格地说（Abel–Ruffini 定理）：一般五次方程的根无法用有限次四则运算与开方（根式）表示。

tip

注意这并不意味着「所有五次方程都不可解」。

  • 若方程可分解（例如含有有理根，能拆成二次乘三次），仍可用低次求根公式解决；
  • 还有一些结构特殊的五次，其伽罗瓦群为可解群，也能用根式表示。