有些运算看起来属于不同领域，实际上是在同一个结构中反复出现的两种方向。

参考资料

• 格论 - 维基百科
• 布尔代数 - 维基百科
• 德摩根定律 - 维基百科

对应关系

先把几组运算放在一起看：

场景	向上合并	向下收缩
数值	$\max(a,b)$	$\min(a,b)$
布尔值	$a\operatorname{or}b$	$a\operatorname{and}b$
逻辑	析取 $P\lor Q$	合取 $P\land Q$
集合	并集 $A\cup B$	交集 $A\cap B$

这些运算不属于同一种对象，但它们的行为非常相似：

• 左边都表示「至少取到一个」「放宽条件」「更大」；
• 右边都表示「同时满足」「收紧条件」「更小」。

更抽象地说，它们分别对应格论中的 join 和 meet：

$$\vee:\text{join}$$ $$\wedge:\text{meet}$$

在不同语境下，符号会换名字，但结构并没有变。

布尔值

如果把布尔值看成有序集合：

$$\operatorname{false}<\operatorname{true}$$

或者记作：

$$0<1$$

那么可以直接得到：

$$a\operatorname{or}b=\max(a,b)$$ $$a\operatorname{and}b=\min(a,b)$$

例如：

$$0\operatorname{or}1=1=\max(0,1)$$ $$0\operatorname{and}1=0=\min(0,1)$$

因此，在二值逻辑中，$\operatorname{or}$ 和 $\operatorname{and}$ 本身就是 $\max$ 和 $\min$。

集合

集合之间也有天然的大小关系，即包含关系：

$$A\subseteq B$$

在这个顺序下，$A\cup B$ 是同时包含 $A$ 和 $B$ 的最小集合，也就是最小上界：

$$\begin{aligned} A&\subseteq A\cup B \\ B&\subseteq A\cup B \end{aligned}$$

而 $A\cap B$ 是同时被 $A$ 和 $B$ 包含的最大集合，也就是最大下界：

$$\begin{aligned} A\cap B&\subseteq A \\ A\cap B&\subseteq B \end{aligned}$$

所以：

$$A\cup B=\sup(A,B)$$ $$A\cap B=\inf(A,B)$$

如果把集合看成某个全集 $U$ 上的特征函数：

$$\chi_A(x)= \begin{cases} 1 & x\in A \\ 0 & x\notin A \end{cases}$$

那么并集和交集可以写成逐点的 $\max$ 和 $\min$：

$$\chi_{A\cup B}(x)=\max(\chi_A(x),\chi_B(x))$$ $$\chi_{A\cap B}(x)=\min(\chi_A(x),\chi_B(x))$$

这说明集合运算和布尔运算只是同一件事的两种视角。

命题

一个命题可以看成「在哪些情况下为真」的集合。

设 $\Omega$ 是所有可能情况的集合，命题 $P$ 的真值集合为：

$$S_P=\set{\omega\in\Omega\mid P(\omega)\text{ 为真}}$$

那么：

$$S_{P\lor Q}=S_P\cup S_Q$$ $$S_{P\land Q}=S_P\cap S_Q$$

也就是说：

• 析取 $P\lor Q$ 对应并集；
• 合取 $P\land Q$ 对应交集。

从真值表看，它们又对应布尔值上的 $\max$ 和 $\min$。

对偶

这些结构通常成对出现，并且存在对偶关系。

如果把顺序反过来：

$$\le\longleftrightarrow\ge$$

那么最大会变成最小，上界会变成下界，join 会变成 meet：

$$\max\longleftrightarrow\min$$ $$\cup\longleftrightarrow\cap$$ $$\lor\longleftrightarrow\land$$

在集合和逻辑中，这种对偶最典型的表现就是德摩根律：

$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$$ $$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$

对应到命题逻辑：

$$\neg(P\lor Q)=\neg P\land\neg Q$$ $$\neg(P\land Q)=\neg P\lor\neg Q$$

取反会反转真假，因此也会交换「或」与「且」。

总结

这几组运算的核心关系可以概括为：

$$\text{join}=\max=\operatorname{or}=\lor=\cup$$ $$\text{meet}=\min=\operatorname{and}=\land=\cap$$

当然，这里的等号不是说它们作用在完全相同的对象上，而是说它们在各自结构中扮演相同的角色。

数值、布尔值、集合、命题之间可以互相翻译：

• 布尔值是最简单的有序集合；
• 集合可以看成布尔值函数；
• 命题可以看成满足它的情况集合；
• $\max/\min$ 是这一结构在有序集合中的基本形式。

所以这些概念并不是孤立记忆的四组符号，而是同一个「有序结构」在不同数学对象上的投影。