一道只求 $f(3)$ 的递归钓鱼题。

参考资料

• Fusible numbers and Peano Arithmetic - arXiv
• Survey on fusible numbers - arXiv

题目

考虑如下递归算法：

$$f(x)= \begin{cases} -x & x<0 \\ \frac{1}{2}f\bigl(x-f(x-1)\bigr) & x\geq 0 \end{cases}$$

求 $f(3)$。

计算

$$f(0)=\frac{1}{2}f\bigl(-f(-1)\bigr) =\frac{1}{2}f(-1) =\frac{1}{2}$$ $$f\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}-f\left(-\frac{1}{2}\right)\right) =\frac{1}{2}f(0) =\frac{1}{4}$$ $$f(1)=\frac{1}{2}f\bigl(1-f(0)\bigr) =\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{8}$$ $$f(2)=\frac{1}{2}f\left(2-f(1)\right) =\frac{1}{2}f\left(\frac{15}{8}\right)$$

自变量是实数，不能仅在整数上递推。下列负数项直接由 $f(x)=-x$ 得到。

先补出 $f\left(\frac{7}{8}\right)$：

$$\begin{aligned} f\left(\frac{3}{4}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{4}-f\left(-\frac{1}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right) \\ & =\frac{1}{8} \\ f\left(\frac{7}{8}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{7}{8}-f\left(-\frac{1}{8}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{4}\right) \\ & =\frac{1}{16} \end{aligned}$$

再补出 $f\left(\frac{13}{16}\right)$：

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{4}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{4}-f\left(-\frac{3}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(-\frac{1}{2}\right) \\ & =\frac{1}{4} \\ f\left(\frac{5}{8}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{5}{8}-f\left(-\frac{3}{8}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{4}\right) \\ & =\frac{1}{8} \\ f\left(\frac{13}{16}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{13}{16}-f\left(-\frac{3}{16}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{5}{8}\right) \\ & =\frac{1}{16} \end{aligned}$$

另一支从已有结果继续递推：

$$\begin{aligned} f\left(\frac{5}{4}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{5}{4}-f\left(\frac{1}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f(1) \\ & =\frac{1}{16} \\ f\left(\frac{3}{2}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{2}-f\left(\frac{1}{2}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{5}{4}\right) \\ & =\frac{1}{32} \\ f\left(\frac{13}{8}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{13}{8}-f\left(\frac{5}{8}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{2}\right) \\ & =\frac{1}{64} \\ f\left(\frac{7}{4}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{7}{4}-f\left(\frac{3}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{13}{8}\right) \\ & =\frac{1}{128} \end{aligned}$$

最后逐层代回：

$$\begin{aligned} f\left(\frac{29}{16}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{29}{16}-f\left(\frac{13}{16}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{7}{4}\right) \\ & =\frac{1}{256} \\ f\left(\frac{15}{8}\right) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{15}{8}-f\left(\frac{7}{8}\right)\right) \\ & =\frac{1}{2}f\left(\frac{29}{16}\right) \\ & =\frac{1}{512} \\ f(2) & =\frac{1}{2}f\left(\frac{15}{8}\right) \\ & =\frac{1}{1024}=2^{-10} \end{aligned}$$

引线计时

燃烧数（Fusible Number）来自引线计时问题。

一根引线从一端点燃后，恰好一小时烧完，但各处燃烧速度并不均匀。若两端分别在时刻 $a$ 与 $b$ 点燃，烧完的时刻为：

$$a\mathbin{\sim}b=\frac{a+b+1}{2}$$

运算要求 $|a-b|<1$。

规定 $0$ 是燃烧数。若 $a,b$ 是燃烧数且 $|a-b|<1$，则 $a\mathbin{\sim}b$ 也是燃烧数。

例如：

$$0\mathbin{\sim}0=\frac{1}{2}$$ $$0\mathbin{\sim}\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$$ $$\frac{1}{2}\mathbin{\sim}\frac{1}{2}=1$$

所有燃烧数都是非负二进有理数，反之不成立。

递归式

2022 年的论文构造了燃烧数的子集 $\mathcal{F}_0$，称为 温和燃烧数（Tame Fusible Number）。

设 $T(x)$ 表示大于 $x$ 的最小温和燃烧数，则：

$$f(x)=T(x)-x$$

因此，$f(x)$ 是 $x$ 到下一个温和燃烧数的间距。

早期资料曾把同一个递归式用于完整燃烧数集合。2012 年的综述给出了反例。

这个递归式仅对应 $\mathcal{F}_0$，不是燃烧数的定义。

序数

燃烧数按通常大小构成良序集，序型为 $\varepsilon_0$。温和燃烧数的序型同样是 $\varepsilon_0$。

在 $\mathcal{F}_0$ 中，整数 $1,2,3$ 的位置依次为：

$$\begin{aligned} 1 & \longleftrightarrow\omega, \\ 2 & \longleftrightarrow\omega^\omega, \\ 3 & \longleftrightarrow\omega^{\omega^\omega} \end{aligned}$$

不断迭代 $\alpha\mapsto\omega^\alpha$，上确界就是 $\varepsilon_0$。

终止

递归调用的参数都小于原参数，但这不能证明算法终止。实数存在有下界的无限严格递减数列。

论文利用温和燃烧数的良序性，证明了算法对所有实数输入都会终止。不过，皮亚诺算术（Peano Arithmetic，PA）无法证明：

对每个自然数 $n$，计算 $f(n)$ 的递归算法都会终止。

这个结论针对所有自然数输入，不影响单独计算某个固定的 $f(n)$。

求解

令 $d(n)=-\log_2 f(n)$。根据前面的计算：

$$\begin{aligned} d(0) & =1, \\ d(1) & =3, \\ d(2) & =-\log_2 2^{-10}=10 \end{aligned}$$

论文给出的递推关系可继续算出：

$$d(3)=1541023937$$

因此：

$$f(3)=2^{-1541023937}$$