一道看似初等、实则需要椭圆曲线才能求解的分式钓鱼题。

参考资料

• An unusual cubic representation problem - Bremner & Macleod
• 椭圆曲线 - 维基百科

题目

求正整数 $a,b,c$，使得：

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4$$

化简

设 $s=a+b+c$，$p=ab+bc+ca$，$q=abc$。

由 $a+b=s-c$，$a+c=s-b$，$b+c=s-a$，得公共分母：

$$(a+b)(b+c)(c+a)=(s-a)(s-b)(s-c)=sp-q$$

原式两边同乘公共分母：

$$a(s-b)(s-c)+b(s-a)(s-c)+c(s-a)(s-b)=4(sp-q)$$

展开左边，利用 $\sum a=s$，$\sum a(b+c)=2p$，$\sum_{\text{cyc}}abc=3q$：

$$\sum_{\text{cyc}}a(s-b)(s-c)=s^3-2sp+3q$$

代入并整理：

$$(a+b+c)^3-6(a+b+c)(ab+bc+ca)+7abc=0$$

这是一个三元三次齐次方程。

缩放

原方程齐次，若 $(a,b,c)$ 是解，则任意正实数 $k$ 倍 $(ka,kb,kc)$ 也是解。

因此只需先求正有理比例 $(a:b:c)$，再通分放大为正整数。

令 $A=\frac{a}{s}$，$B=\frac{b}{s}$，$C=\frac{c}{s}$，则 $A+B+C=1$，原方程化为：

$$\frac{A}{1-A}+\frac{B}{1-B}+\frac{C}{1-C}=4$$

这是一条亏格 $1$ 的三次曲线，只要存在一个有理点，就可以双有理等价为一条椭圆曲线。

椭圆曲线

Bremner 与 Macleod 在《An unusual cubic representation problem》中给出了更一般方程：

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=N$$

对应的椭圆曲线模型：

$$E_N:y^2=x^3+(4N^2+12N-3)x^2+32(N+3)x$$

代入 $N=4$：

$$E_4:y^2=x^3+109x^2+224x$$

由 $E_4$ 上的有理点 $(x,y)$ 可反推 $(a:b:c)$：

$$\frac{a}{s}=\frac{56-x+y}{14(4-x)},\frac{b}{s}=\frac{56-x-y}{14(4-x)},\frac{c}{s}=\frac{-28-6x}{7(4-x)}$$

只需找到让三个值同时为正有理数的 $(x,y)$。

求解

最小正解对应的有理点必须沿着 $E_4(\mathbb{Q})$ 的无穷阶生成元做多次倍点运算才能落入正区域，每次倍点的位数大致翻倍。

通分放大后，得到一组最小正整数解：

$$\begin{aligned} a & =154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999 \\ b & =4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 \\ c & =36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579 \end{aligned}$$

验证

代入化简得到的等价条件：

$$(a+b+c)^3-6(a+b+c)(ab+bc+ca)+7abc=0$$

301 Bpython

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
c=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
assert (a+b+c)**3-6*(a+b+c)*(a*b+b*c+c*a)+7*a*b*c==0