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数学：比较 x^y 与 y^x

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lailai
lailai
Student & Developer

引入​

对于两个正实数 xx 和 yy，如何比较 xyx^y 和 yxy^x 的大小？

xy⋛yxx^y\gtreqless y^x

思考​

两边同时取自然对数：

ln⁡xy⋛ln⁡yx  ⟺  yln⁡x⋛xln⁡y  ⟺  ln⁡xx⋛ln⁡yy\ln{x^y}\gtreqless \ln{y^x}\iff y\ln{x}\gtreqless x\ln{y}\iff \frac{\ln{x}}{x}\gtreqless \frac{\ln{y}}{y}

由此构造函数：

f(t)=ln⁡ttf(t)=\frac{\ln t}{t}

原问题转化为比较 f(x)f(x) 与 f(y)f(y) 的大小。

求解​

对 f(t)f(t) 求导：

f′(t)=1−ln⁡tt2f'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}

令导数为 00：

f′(t)=1−ln⁡tt2=0  ⟺  t=ef'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}=0\iff t=e

因此 f(t)f(t) 在 (0,e)(0,e) 单调递增，在 t=et=e 处取得最大值 1e\frac{1}{e}，在 (e,+∞)(e,+\infty) 单调递减。

分类讨论​

  1. 如果 xx 或 yy 等于 ee：

底数等于 ee 的较大。

  1. 如果 xx 和 yy 都小于 ee：
  • 如果 x<y<ex<y<e，那么 xy<yxx^y<y^x。
  • 如果 y<x<ey<x<e，那么 xy>yxx^y>y^x。
  1. 如果 xx 和 yy 都大于 ee：
  • 如果 e<x<ye<x<y，那么 xy>yxx^y>y^x。
  • 如果 e<y<xe<y<x，那么 xy<yxx^y<y^x。
  1. 如果 xx 和 yy 在 ee 的两侧：

此时只能直接比较 yln⁡xy\ln x 和 xln⁡yx\ln y 的大小。

图像​

图中黑色曲线 xy=yxx^y=y^x，红色区域 xy>yxx^y>y^x，蓝色区域 xy<yxx^y<y^x

例题​

2^4 与 4^2​

24=16=422^4=16=4^2

e^π 与 π^e​

eπ=ee(eπe−1)e>ee(πe−1+1)e=πee^\pi=e^e\left(e^{\frac{\pi}{e}-1}\right)^e>e^e\left(\frac{\pi}{e}-1+1\right)^e=\pi^e