比较 x^y 与 y^x

对于两个正实数 $x$ 和 $y$，如何比较 $x^y$ 和 $y^x$ 的大小？

思想

$$x^y\gtreqless y^x$$

两边同时取自然对数：

$$\ln{x^y}\gtreqless \ln{y^x}\iff y\ln{x}\gtreqless x\ln{y}\iff \frac{\ln{x}}{x}\gtreqless \frac{\ln{y}}{y}$$

由此构造函数：

$$f(t)=\frac{\ln t}{t}$$

原问题转化为比较 $f(x)$ 与 $f(y)$ 的大小。

求解

对 $f(t)$ 求导，并令导数为 $0$：

$$f'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}=0\iff t=e$$

因此 $f(t)$ 在 $(0,e)$ 单调递增，在 $t=e$ 处取得最大值 $\frac{1}{e}$，在 $(e,+\infty)$ 单调递减。

分类讨论

1. 如果 $x$ 或 $y$ 等于 $e$：底数等于 $e$ 的更大。
2. 如果 $x$ 和 $y$ 都小于 $e$：底数接近 $e$（较大）的更大（如果 $x<y<e$，那么 $x^y<y^x$；如果 $y<x<e$，那么 $x^y>y^x$）。
3. 如果 $x$ 和 $y$ 都大于 $e$：底数接近 $e$（较小）的更大（如果 $e<x<y$，那么 $x^y>y^x$；如果 $e<y<x$，那么 $x^y<y^x$）。
4. 如果 $x$ 和 $y$ 在 $e$ 的两侧：直接比较 $y\ln x$ 和 $x\ln y$ 的大小。

图像

图中黑色曲线 $x^y=y^x$，红色区域 $x^y>y^x$，蓝色区域 $x^y<y^x$

例题

2^4 与 4^2

$$2^4=16=4^2$$

e^π 与 π^e

$$e^\pi=e^e\left(e^{\frac{\pi}{e}-1}\right)^e>e^e\left(\frac{\pi}{e}-1+1\right)^e=\pi^e$$