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数学：进制效率

Summary

用 x 进制表示整数 n，所需位数约为以 x 为底 n 的对数，每一位有 x 种状态，总状态数正比于 x 除以 ln x。该函数在 x 等于 e 时取最小值，因此理论上 e 进制效率最高。但 e 进制在工程上无法实现，而 2 进制与 4 进制效率相同，3 又比 4 更接近 e，所以实际中 3 进制效率最高。

为什么理论上 ee 进制效率最高？

参考资料​

思想​

考虑用 xx 进制表示整数 nn（x>1,n>1x>1,n>1），理论上需要 log⁡xn\log_x n 位。

每一位需要 { 0,1,2,…,x−1 }\set{0,1,2,\dots,x-1} 共 xx 种状态，因此总状态数为：

xlog⁡xn=ln⁡n⋅xln⁡xx\log_x n=\ln n\cdot\frac{x}{\ln x}

函数 xln⁡x\frac{x}{\ln x} 在 x=ex=e 时取最小值，此时所需状态数最少，理论上 ee 进制效率最高。

https://www.desmos.com/calculator/yqv0tbufkv

但 ee 进制在工程上无法实现，又因为：

2ln⁡2=4ln⁡4\frac{2}{\ln 2}=\frac{4}{\ln 4}

可知 22 进制和 44 进制效率相同，显然 33 比 44 更接近 ee，因此在实际中 33 进制效率最高。