数学：进制效率

参考资料

• 为什么3进制效率较高？ - bilibili
• 三进位电脑 - 维基百科

引入

为什么 $e$ 进制理论效率最高？

思考

考虑用 $x$ 进制表示整数 $n$（$x>1,n>1$），理论上需要 $\log_x n$ 位。

每一位需要 $\set{0,1,2,\dots,x-1}$ 共 $x$ 种状态，因此总状态数为：

$$x\log_x n=\ln n\cdot\frac{x}{\ln x}$$

函数 $\frac{x}{\ln x}$ 在 $x=e$ 时取最小值，此时所需状态数最少，理论上 $e$ 进制效率最高。

但 $e$ 进制在工程上无法实现，又因为：

$$\frac{2}{\ln 2}=\frac{4}{\ln 4}$$

可知 $2$ 进制和 $4$ 进制效率相同，显然 $3$ 比 $4$ 更接近 $e$，因此在实际中 $3$ 进制效率最高。