一些与均值有关的定积分函数。 参考资料 与平均有关的定积分 - 知乎 [证毕QED]一个积分六个平均数 - bilibili 函数 设： f(t)=∫abxt+1dx∫abxtdxf(t)=\frac{\int_a^b x^{t+1}\mathrm{d}x}{\int_a^b x^t\mathrm{d}x}f(t)=∫abxtdx∫abxt+1dx 当 t≠−1∧t≠−2t\ne-1\land t\ne-2t=−1∧t=−2 时，可化简为： f(t)=(t+1)(bt+2−at+2)(t+2)(bt+1−at+1)f(t)=\frac{(t+1)(b^{t+2}-a^{t+2})}{(t+2)(b^{t+1}-a^{t+1})}f(t)=(t+2)(bt+1−at+1)(t+1)(bt+2−at+2) 显然，函数 f(t)f(t)f(t) 单调不减。 图像 https://www.desmos.com/calculator/5gkcu5nq4c 均值 该函数可以并推广 均值不等式。 0<a≤b0<a\le b0<a≤b a≤H(a,b)≤G(a,b)≤L(a,b)≤N(a,b)≤A(a,b)≤T(a,b)≤ba\le H(a,b)\le G(a,b)\le L(a,b)\le N(a,b)\le A(a,b)\le T(a,b)\le ba≤H(a,b)≤G(a,b)≤L(a,b)≤N(a,b)≤A(a,b)≤T(a,b)≤b 调和平均数 H(a,b)=f(−3)=−2(b−1−a−1)−1(b−2−a−2)=2aba+b=21a+1bH(a,b)=f(-3)=\frac{-2(b^{-1}-a^{-1})}{-1(b^{-2}-a^{-2})}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}H(a,b)=f(−3)=−1(b−2−a−2)−2(b−1−a−1)=a+b2ab=a1+b12 几何平均数 G(a,b)=f(−1.5)=−0.5(b0.5−a0.5)0.5(b−0.5−a−0.5)=abG(a,b)=f(-1.5)=\frac{-0.5(b^{0.5}-a^{0.5})}{0.5(b^{-0.5}-a^{-0.5})}=\sqrt{ab}G(a,b)=f(−1.5)=0.5(b−0.5−a−0.5)−0.5(b0.5−a0.5)=ab 对数平均数 L(a,b)=f(−1)=∫abx0dx∫abx−1dx=b−alnb−lnaL(a,b)=f(-1)=\frac{\int_a^b x^0\mathrm{d}x}{\int_a^b x^{-1}\mathrm{d}x}=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}L(a,b)=f(−1)=∫abx−1dx∫abx0dx=lnb−lnab−a 海伦平均数 N(a,b)=f(−0.5)=0.5(b1.5−a1.5)1.5(b0.5−a0.5)=a+ab+b3N(a,b)=f(-0.5)=\frac{0.5(b^{1.5}-a^{1.5})}{1.5(b^{0.5}-a^{0.5})}=\frac{a+\sqrt{ab}+b}{3}N(a,b)=f(−0.5)=1.5(b0.5−a0.5)0.5(b1.5−a1.5)=3a+ab+b 算术平均数 A(a,b)=f(0)=1(b2−a2)2(b1−a1)=a+b2A(a,b)=f(0)=\frac{1(b^2-a^2)}{2(b^1-a^1)}=\frac{a+b}{2}A(a,b)=f(0)=2(b1−a1)1(b2−a2)=2a+b 质心平均数 T(a,b)=f(1)=2(b3−a3)3(b2−a2)=2(a2+ab+b2)3(a+b)T(a,b)=f(1)=\frac{2(b^3-a^3)}{3(b^2-a^2)}=\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}T(a,b)=f(1)=3(b2−a2)2(b3−a3)=3(a+b)2(a2+ab+b2)
